AstroGirl, Dzienniki Superbohaterki 14 kwietnia 2013

W tamtym roku, jakoś około lata czy jesieni, trafiło mi się odwiedzać wydział, w którym udawali, że uczą mnie informatyki, i swoim zwyczajem musiałam dopaść się przy tej rzadkiej okazji do książek o matematyce. Bo wiecie. Książki to jedno. Matematyka to drugie. Ale książki o matematyce, takie w stylu 102 rzeczy, których nie wiedziałeś o czworościanach, ale bałeś się zapytać, to coś, co stoi u mnie na szczególnej półce, nawet, jak ostatnio zaobserwowałam, powyżej książek sci-fi.

No i w jednej z nich (której tytułu oczywiście nie zapamiętałam) była taka historyjka:

Dawno, dawno temu na wyspie Atlantydzie istniało sobie nieduże, acz rozwinięte naukowo miasto, którym rządziła królowa Henrietta. Pewnego razu zwołała ona wszystkie swoje zamężne poddane i ogłosiła, że z powodu podejrzenia dużej liczby przypadków łamania przysięgi małżeńskiej, każda ze zdradzanych żon ma obowiązek zastrzelić swojego męża w noc, której numer będzie o 1 mniejszy niż liczba wszystkich niewiernych mężów na wyspie, licząc od następnej.

Ponadto, żeby mężowie się niczego nie domyślili zabroniła im wymieniać się informacjami na ten temat. I tyle.
Więcej królowa nie musiała wyjaśniać - wiedziała, że każda z obywatelek zna dokładną liczbę wszystkich przypadków niewierności u mężów w mieście za wyjątkiem swojego*, że każda z pań jest świetnym logikiem oraz że... odgłos wystrzału pistoletu będzie słychać dobrze w całej okolicy.

I miała rację - panie zadowolone wróciły do domów, następnie przez 39 dni w nocy panowała cisza, aż nagle, kolejnej nocy, po mieście rozniół się huk czterdziestu wystrzałów.

Utknęła mi w pamięci z dwóch szczególnych powodów. Pierwszy z nich jest dość charakterystyczny i stawiam, że wszystkim Czytelniczkom zahaczy ją w głowie na dobre, to jest: motyw strzelania do niewiernych mężów :) Drugim natomiast było to, że pomimo przyglądania się historyjce (i jej wyjaśnieniu!) kilkakrotnie, nie miałam pojęcia, jak do licha one wiedziały kiedy i do kogo strzelać? Przecież jaki to ma związek? W końcu jak wiemy, że takie "zjawisko" występuje u pięciu naszych koleżanek, to przecież nie wydedukujemy z niego, że i nasz facet ma coś na sumieniu, nie? Podobnie jak z odgłosu wystrzału świadczącego o tym, że któraś sprawę już rozwiązała.
Logika logiką, a statystycznie to najbardziej prawdopodobne, że po prostu facet by nam spieprzył ze strachu.

A dzisiaj mnie olśniło XD Po ponad pół roku! Nie no, jak na moje eureki to naprawdę całkiem niezły wynik. Ale radocha, jak tak nagle zatrybi, niesamowita - znacie to?

I teraz Wam oczywiście opowiem (wszystkim, panowie mogą czytać z zamkniętymi oczami), na czym polegał ten tajemniczy tok myślenia. No więc pierwszy, najważniejszy, a może nawet jedyny błąd siedział w tym, że wyobrażałam sobie, że każda żona wiedziała o zupełnie różnej liczbie tych mężów. Pomimo czytelnego znaczenia, że każda wiedziała o wszystkich poza swoim, jakiś głupi odruch podpowiadał mi całą serię różnych liczb, które powinny zaowocować strzelaninami przez całe noce. Tymczasem możliwości są tylko dwie. Albo nasz mąż jest uczciwy, więc nie przeszkadza nam, że nie możemy go policzyć, a więc znamy dokładną liczbę rogaczek (mówi się tak w ogóle..?). Albo nie jest i wtedy znamy liczbę dokładnie o 1 mniejszą. Czyli albo, że się tak wyrażę, wiemy o n mężach albo o n-1.
I tu jest kolejny stopień schodów - jak mamy się dowiedzieć, którą z liczb znamy, tj. czy powinniśmy do niej dodać swojego ukochanego czy nie? Tu z pomocą przychodzą nam te odgłosy wystrzału - otóż każda z Atlantydanek będzie filowała, czy w noc poprzedzającą tę o numerze, który znają, padną jakieś strzały. W końcu liczba, w której pasowałoby kogoś zastrzelić, czyli to n-1, pojawia się w kolejności wcześniej niż n. Kiedy więc słyszymy strzały w noc poprzedzającą naszą, oznacza to, że jakaś pani właśnie wydedukowała, że to przez jej drugą połówkę rachunek się nie zgadza. A nie zgadza się, ponieważ sama strzałów jeszcze wcześniejszej nocy nie wynotowała.
Nagle wszystko zaczęło do siebie pasować!
Wam róznież się wyjaśniło, czy rozrysować Wam to na grafach? :) No to cieszę się [img]http://emots.yetihehe.com/2/zeby.gif[/img]

Przemyślałam sobie jednak dokładniej praktyczniejsze strony tego problemu (znaczy: w kwestii matematyki!) i zauważyłam, że co ciekawe numer nie wypali, kiedy na całej wyspie będzie tylko i wyłącznie jeden niewierny mąż - jego ukochana nie będzie wiedziała wtedy o ani jednym niewiernym u sąsiadek i, nie wiedząc, czy wszyscy są czyści, czy tylko ona jest oszukiwana, nie będzie mogła wystrzelić - bo i kiedy i na podstawie czego? Co jednak jeszcze ciekawsze, z powodu tej jednej niewiedzy plan nie wypali dla trochę większej liczby niewiernych mężów niż 1. Tylko... Oj, trochę ciężko mi policzyć dla ilu konkretnie. No pomyślcie sobie: pewna Atlantydanka wie o trzech niewiernych mężach na wyspie i trzeciej nocy stoi ze strzelbą nad swoim. Czy aby na pewno może się opierać na tym, co usłyszała wczoraj? Nie - ponieważ kiedy tak stoi i myśli, czy odblokować magazynek, wczuwa się w hipotetyczną żonę, która wie o dwóch mężach, i stwierdza, że musiałaby polegać na (również hipotetycznej) żonie wiedzącej o jednym mężu. Która... pierwszego dnia na bank nie wystrzeli, bo (podobnie jak w przypadku, kiedy małżonka nie wie o ani jednym mężu) nie będzie miała połowy danych (Czy jeśli jakaś żona nie ma pojęcia o żadnym mężu, to wystrzeliłaby, gdyby miała kiedy, czy po prostu te paple wiedzą o dwóch, w tym moim?).
I nie wiem, czy czasem w ten sposób, potęgą rekurencji, nie położylibyśmy całego sposobu na łopatki, bo pomimo, że nigdy (naprawdę NIGDY) w głowach pań na spotkaniu z Henriettą nie pojawiłaby się liczba inna niż jedna z dwóch różniąca się od siebie o 1 (po ludzku albo n albo n-1 :p), to one by o tym nie wiedziały.

Wychodzi na to, że sytuacja zadziała dopiero wtedy, kiedy... będziemy mieć gwarancję jednego niewiernego męża (jakkolwiek to brzmi od strony obyczajowej). Wtedy dopiero ta żona (dokładnie jedna), która nie będzie wiedzieć o żadnym takowym, skojarzy, że coś jest nie tak i zrobi porządek w swoim domu nie zawracając sobie głowy, czy poprzedniej nocy ktoś kogoś zastrzelił czy nie. Byleby sama też zrobiła to za pomocą broni palnej, no bo co by się z Atlantydą stało, gdyby całkiem rozgromiono na niej płeć męską?
Hmm... Może one wcale nie były aż tak dobrymi logikami?



Dalej sama książka opisuje jednak coś, co całkiem mimochodem eliminuje ten ostatni problem. Mimochodem, bo bezpośrednio na celu ma skrócenie procesu oczekiwania na potwierdzenie, jak to jest z naszym mężem, ale ponieważ zamienia dowolnie dużą liczbę na mniejszą od 4, to automatycznie sprawę z minimalną ilością niewiernych mężów nam załatwi.
Mianowicie: weźmy sobie różnicę z dzielenia znanej nam liczby przez 3 (tak zwane modulo, np. 34 modulo 3 = 1) i dla czytelności dodajmy 1. Dlaczego właśnie 3? Przemyślałam to - owszem, moglibyśmy robić to na liczbie 2, przez co wartość uprościłaby się nam jeszcze bardziej, ale... już za bardzo. Nie dałoby się już dojść, która liczba była większa od drugiej, tymczasem teraz mamy trzy możliwości:

• panie z 1 i panie z 2, gdzie w takim razie interesujące nas n wynosi 2
• 2 oraz 3, czyli wiadomo
• i, tu bardziej podchwytliwy przypadek, 1 i 3. Co wy na to? Otóż wartości te nie różnią się o 1, co świadczy o tym, że przed operacją modulo to ta jedynka była większa od trójki (sprawdźcie sobie na czymś ;) )

Co teraz dalej z tym zrobić? No, skoro po każdej kombinacji widać, kto powinien strzelać, a kto nie, to już można to rozpisać, choć z trochę bardziej złożonymi warunkami:

• pierwszej nocy "jedynki", robią taki trick, że ponieważ muszą przekazać "dwójkom", że trafiło im się 1, a jednak muszą poczekać z ewentualnym zabiciem męża na to, co zdarzy się w trzeci dzień, to oddają strzał w powietrze.
• druga noc i tu już normalnie - słyszeliśmy ostatnio strzał: śpimy dalej; nie słyszeliśmy: trzeba szukać sobie nowego męża.
• trzecia noc - i tu trochę więcej komplikacji. Po pierwsze oczywiście: jeśli "dwójki" strzelały, to "trójki" już nie; po drugie: vice versa; po trzecie, najciekawsze: jeśli "dwójki" wystrzeliły, a na początku "jedynki" oddały strzał sygnałowy, to znaczy, że już "trójki" nie wystrzelą => wywiązała się nam sytuacja pierwsza z listy wyżej, czyli n=2 => "jedynki" znów będą strzelać, tym razem nie w powietrze.

Najbardziej, poza całą resztą tej skróconej metody, podobał mi się ten motyw strzelania w powietrze (choć mężom podobał się pewnie jeszcze bardziej) - gdybym nie zapamiętała go bezpośrednio z książki, nie miałabym pomysłu, jak inaczej załatwić tę sprawę z koniecznością i niemożliwością zastrzelenia męża jednocześnie. Z tego skróconego sposobu zapamiętałam właściwie tylko to strzelanie dla sygnału oraz zabawne podsumowanie w nawiasie w opisie dla trzeciego dnia, dla "jedynek": strzelają do męża (jeśli jeszcze jest do kogo strzelać). Jednakże albo coś źle odtworzyłam, albo oni się kropnęli, bo w chwili obecnej "jedynki" nie mają prawa mordować ukochanego za pierwszym razem - strzał informujący i tyle. Chyba że autor potwierdza moje podejrzenia, że w takim matriarchacie mężczyzna dałby nogę nie czekając na podsumowanie rozumowania matematycznego za trzy dni.
Nikt też nie powiedział, że dobry myśliciel musi być dobrym myśliwym i możliwe, że bez podania zwrotu, kierunku i pędu czy jeszcze innego wektora niektóre Atlantydanki nie trafiały w niebo i nadpisywały system, uszkadzając męża sąsiadki śpiącego na balkonie.

Tyle jeśli chodzi o drugą teorię na temat zwijania się Atlantydy.



Mam nadzieję, że mówiąc językiem kota Garfielda, obyło się bez tego straszliwego odgłosu klikania w pilota (czy, w tym przypadku, myszkę/klawiaturę). Właśnie dzisiaj zauważyłam, że są takie dni, że jest piękne słoneczko (jak dzisiaj! Wiosna!), jest czas wolny, jest telewizor, komputer i książki, nawet natchnienie jest, ba! są nowe odcinki Doctora Who! a ja taka nijaka się czuję. I to tego matematycznego myślenia właśnie mi brakuje, żeby po prostu kombinować, kombinować, kombinować...




____________________
*Wierzę, iż sugeruje to talenty plotkarskie, nie "bliższą znajomość" ze wszystkimi rzeczonymi.

P.S. No nie! Patrzcie, co akurat dzisiaj zafundowało nam Google! Drugi matematyczny wpis ever, a tu akurat jeden z największych matematyków wszechczasów miałby urodziny!